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    Cours · Calcul

    Proportionnalité & règle de trois

    Dès que deux grandeurs évoluent « ensemble », la proportionnalité te permet d'aller très vite… ou de te tromper très vite.
    Calculproduit en croixexemples corrigéslecture · 12 min
    Élève stressé résolvant une règle de trois au tableau devant un professeur qui lui crie dessus
    Le produit en croix ne se discute pas : il se pose, sans trembler.

    Compétences visées

    • Identifier une situation de proportionnalité (ou repérer qu'elle n'y est pas)
    • Maîtriser la règle de trois simple et multiple
    • Gérer les vitesses, consommations, productions, temps de travail
    • Repérer les pièges classiques des QCM de calcul

    Pourquoi la proportionnalité est partout au TAGE MAGE

    Au TAGE MAGE, tu rencontres la proportionnalité dès que deux grandeurs évoluent « de concert » : quantité et prix, vitesse et consommation, nombre d'ouvriers et production, etc.

    Cette compétence est cruciale dans la vie d'un futur cadre : tu devras sans cesse estimer des coûts, des temps, des volumes à partir de quelques informations partielles. L'objectif de cette fiche : te donner une méthode ultra opérationnelle, que tu peux appliquer en moins d'une minute le jour J.

    Notion de proportionnalité

    Définition de base

    Deux grandeurs X et Y sont proportionnelles s'il existe un nombre réel k (appelé coefficient de proportionnalité) tel que, pour toutes les valeurs considérées, Y = k × X. Quand X double, Y double ; quand X est multiplié par 3, Y est multiplié par 3, etc.

    Écriture mathématique

    k est le coefficient (ou facteur) de proportionnalité : il transforme X en Y.

    Y=k×XY = k \times X

    Au TAGE MAGE, on te donne souvent la proportionnalité sous forme de tableau : lignes = « situations », colonnes = grandeurs.

    Reconnaître une situation de proportionnalité

    Tu peux dire qu'il y a proportionnalité si :

    • Le rapport Y/X est constant pour toutes les lignes du tableau.
    • Ou bien le produit X × Y est constant (cas typique de la proportionnalité inverse, par exemple vitesse × temps = distance).

    Règle de trois simple (produit en croix)

    Méthode tableau

    La méthode la plus sûre pour le TAGE MAGE : tout mettre dans un tableau à deux colonnes.

    X1Y1 X2Y2\begin{array}{c|c} X_1 & Y_1 \ X_2 & Y_2 \end{array}

    Si tu connais X₁, Y₁, X₂ et que tu cherches Y₂, la règle est :

    Formule de base

    On multiplie la valeur connue Y₁ par le rapport entre les X.

    Y2=Y1×X2X1Y_2 = Y_1 \times \dfrac{X_2}{X_1}

    Visuellement, tu peux retenir que le produit en croix des diagonales est égal : X1×Y2=X2×Y1X_1 \times Y_2 = X_2 \times Y_1.

    Exemple 1Heures de cours
    Un professeur donne 12 heures de cours pour 6 étudiants. Combien d'heures faut-il pour 15 étudiants si le temps est strictement proportionnel au nombre d'étudiants ?
    1. 01
      Poser les grandeurs
      On pose X = nombre d'étudiants, Y = nombre d'heures.
    2. 02
      Construire le tableau
      Tableau : (6 → 12 h) ; (15 → Y).
    3. 03
      Appliquer la règle
      Y=12×156=12×2,5=30Y = 12 \times \dfrac{15}{6} = 12 \times 2{,}5 = 30
    Réponse
    Il faut 30 heures de cours.

    Toujours identifier clairement les deux grandeurs avant d'appliquer le produit en croix.

    Proportionnalité multiple

    Principe

    On parle de proportionnalité multiple lorsqu'il y a au moins trois grandeurs qui interagissent, souvent deux étant déjà proportionnelles entre elles. Exemple typique : vitesse, consommation d'essence et distance parcourue.

    La méthode gagnante au TAGE MAGE : décomposer le problème en plusieurs règles de trois simples, ou réduire toutes les données à une base commune (par unité, par 1 ou par 100).

    Exemple 2Camion et consommation
    Un camion consomme 8 L de carburant tous les 100 km lorsqu'il roule à 80 km/h. La consommation (en litres/100 km) est proportionnelle à la vitesse. Quelle sera la consommation tous les 100 km s'il roule à 120 km/h ?
    1. 01
      Poser les grandeurs
      Les grandeurs : X = vitesse (km/h), Y = consommation (L/100 km).
    2. 02
      Vérifier le type de proportionnalité
      Proportionnalité directe entre X et Y.
    3. 03
      Construire le tableau
      Tableau : (80 → 8 L) ; (120 → C).
    4. 04
      Calculer
      C=8×12080=8×1,5=12 LC = 8 \times \dfrac{120}{80} = 8 \times 1{,}5 = 12\,\text{L}
    Réponse
    À 120 km/h, le camion consomme 12 L/100 km.
    Exemple 3Ouvriers, temps, production
    4 ouvriers fabriquent 360 pièces identiques en 6 heures, à vitesse de travail constante. Combien de pièces 10 ouvriers produiront-ils en 9 heures, dans les mêmes conditions ?
    1. 01
      Analyser la situation
      Ici, la production est proportionnelle à la fois au nombre d'ouvriers et au temps de travail.
    2. 02
      Ramener à l'unité
      On calcule la production d'1 ouvrier en 1 heure : 4 ouvriers × 6 h = 24 « ouvriers-heures » produisent 360 pièces.
    3. 03
      Calculer le rendement unitaire
      360/24=15 pieˋces360 / 24 = 15\,\text{pièces}
    4. 04
      Calculer la nouvelle base
      10 ouvriers pendant 9 heures représentent 10 × 9 = 90 ouvriers-heures.
    5. 05
      Calculer le résultat
      90×15=135090 \times 15 = 1350
    Réponse
    Les 10 ouvriers produisent 1350 pièces en 9 heures.

    Réflexe TAGE MAGE : ramener à l'unité (ici un ouvrier-heure), puis remonter à la situation demandée.

    Proportionnalité directe vs inverse

    Proportionnalité directe

    Quand X augmente, Y augmente dans le même sens. Exemple : prix ∝ quantité achetée (sans remise ni frais fixes).

    Proportionnalité inverse

    Quand X augmente, Y diminue de façon telle que le produit X × Y reste constant. Cas typiques : vitesse × temps = distance (pour une distance fixée), nombre d'ouvriers × temps = quantité de travail (pour une quantité fixée).

    Formule générique

    k est constant : si X est multiplié par 2, Y est divisé par 2.

    X×Y=kX \times Y = k
    Exemple 4Vitesse et temps
    Un trajet fixe est parcouru en 3 heures à 80 km/h. Combien de temps mettra-t-on si l'on roule à 120 km/h, sur le même trajet ?
    1. 01
      Calculer la distance
      D=80×3=240 kmD = 80 \times 3 = 240\,\text{km}
    2. 02
      Calculer le nouveau temps
      240/120=2 h240 / 120 = 2\,\text{h}
    Réponse
    On mettra 2 heures.

    Tu peux passer par le produit vitesse × temps ou par la formule classique distance = vitesse × temps.

    Pièges classiques au TAGE MAGE

    Faux cas de proportionnalité

    • Présence de frais fixes (ex : "15 € de forfait + 2 € par unité").
    • Plafonds ou paliers (ex : tarif qui change au-delà d'un certain volume).
    • Remises en pourcentage qui se cumulent avec des montants fixes.

    Mauvaise identification des grandeurs

    Beaucoup de candidats se trompent de colonne : ils utilisent le temps là où il fallait la distance, ou le prix total là où il fallait le prix unitaire. Avant de calculer, pose soigneusement ton tableau avec les intitulés au-dessus de chaque colonne.

    Formulaire express à connaître

    Proportionnalité directe

    k = Y / X est constant pour toutes les lignes du tableau.

    Y=k×XY = k \times X

    Règle de trois (trouver Y₂)

    Le produit en croix donne aussi X₁ × Y₂ = X₂ × Y₁.

    Y2=Y1×X2X1Y_2 = Y_1 \times \dfrac{X_2}{X_1}

    Proportionnalité inverse

    Si X est multiplié par a, Y est divisé par a.

    X×Y=kX \times Y = k

    Trois mini cas concrets façon TAGE MAGE

    Cas 1Achat groupéFacile
    Un pack de 6 cahiers coûte 9 €. En supposant une proportionnalité parfaite entre le nombre de cahiers et le prix, combien coûterait un pack de 10 cahiers ?
    1. 01
      Calculer le prix unitaire
      9/6=1,5 €9 / 6 = 1{,}5\,€
    2. 02
      Calculer le prix pour 10 cahiers
      10×1,5=1510 \times 1{,}5 = 15
    Réponse
    15 €

    Méthode : Ramener au prix unitaire, puis remonter à la quantité demandée.

    Cas 2Production en usineIntermédiaire
    Une machine produit 480 pièces en 8 heures. En supposant que le nombre de pièces produites est proportionnel au temps de fonctionnement, combien produira la machine en 5 h 30 ?
    1. 01
      Calculer la production horaire
      480/8=60 pieˋces480 / 8 = 60\,\text{pièces}
    2. 02
      Calculer la production en 5,5 h
      60×5,5=33060 \times 5{,}5 = 330
    Réponse
    330 pièces

    Méthode : Calculer le débit horaire, puis multiplier par le nouveau temps.

    Cas 3Débit de deux équipesAvancé
    Une équipe de 3 techniciens installe 45 compteurs en 5 jours de 7 heures chacun. Combien de compteurs pourront installer 5 techniciens en 4 jours de 8 heures chacun, à productivité constante ?
    1. 01
      Calculer les heures-technicien initiales
      3×5×7=1053 \times 5 \times 7 = 105
    2. 02
      Calculer le rendement unitaire
      45/105≈0,428645 / 105 \approx 0{,}4286
    3. 03
      Calculer les heures-technicien de la nouvelle situation
      5×4×8=1605 \times 4 \times 8 = 160
    4. 04
      Calculer le résultat
      160×0,4286≈69160 \times 0{,}4286 \approx 69
    Réponse
    69 compteurs (environ)

    Méthode : Utiliser la notion d'« heure-technicien » pour ramener tout à l'unité.

    Cas 4Échelle d'un planFacile
    Un plan est réalisé à l'échelle 1/100. Un mur mesure 3,2 m dans la réalité. Quelle longueur ce mur occupe-t-il sur le plan ?
    1. 01
      Convertir en centimètres
      3,2 m=320 cm3{,}2\,\text{m} = 320\,\text{cm}
    2. 02
      Diviser par le facteur d'échelle
      320/100=3,2 cm320 / 100 = 3{,}2\,\text{cm}
    Réponse
    Le mur mesure 3,2 cm sur le plan.

    Passer du réel au plan revient à diviser par le facteur d'échelle, après avoir uniformisé les unités.

    Cas 5Proportionnalité inverse : vidange d'un réservoirIntermédiaire
    Un réservoir se vide en 5 heures grâce à 2 pompes identiques fonctionnant en continu. Combien de temps faudrait-il pour le vider avec 5 pompes identiques ?
    1. 01
      Repérer une proportionnalité inverse
      Le volume total à évacuer est fixé, donc le nombre de pompes et la durée sont en proportionnalité inverse.
    2. 02
      Calculer le produit constant
      2×5=10 pompes-heures2 \times 5 = 10\ \text{pompes-heures}
    3. 03
      Diviser par le nouveau nombre de pompes
      10/5=2 h10 / 5 = 2\ \text{h}
    Réponse
    Il faudrait 2 heures avec 5 pompes.
    Cas 6Partage proportionnel aux apportsAvancé
    Un bénéfice de 5 400 € est partagé entre trois associés proportionnellement à leurs apports respectifs : 20 000 €, 30 000 € et 40 000 €. Quelle est la part de chaque associé ?
    1. 01
      Calculer le total des apports
      20 000+30 000+40 000=90 000 €20\,000 + 30\,000 + 40\,000 = 90\,000\,€
    2. 02
      Calculer la part de chacun au prorata de son apport
      5 400×20 00090 000=1 200 €5\,400 \times \dfrac{20\,000}{90\,000} = 1\,200\,€
    3. 03
      Faire de même pour les deux autres associés
      5 400×30 00090 000=1 800 €;5 400×40 00090 000=2 400 €5\,400 \times \dfrac{30\,000}{90\,000} = 1\,800\,€ \quad ; \quad 5\,400 \times \dfrac{40\,000}{90\,000} = 2\,400\,€
    Réponse
    Les associés reçoivent respectivement 1 200 €, 1 800 € et 2 400 €.

    Un partage proportionnel aux apports revient à multiplier le total à répartir par la part relative de chacun dans le total des apports.

    Cas 7Mélange de deux solutionsAvancé
    Un chimiste mélange 4 L d'une solution titrant 25 % d'acide avec 6 L d'une solution titrant 65 % d'acide. Quel est le pourcentage d'acide de la solution obtenue ?
    1. 01
      Calculer la quantité d'acide apportée par chaque solution
      4×0,25=1 L;6×0,65=3,9 L4 \times 0{,}25 = 1\,\text{L} \quad ; \quad 6 \times 0{,}65 = 3{,}9\,\text{L}
    2. 02
      Additionner les quantités d'acide et les volumes
      1+3,9=4,9 L d’acide pour 10 L de meˊlange1 + 3{,}9 = 4{,}9\,\text{L d'acide pour } 10\,\text{L de mélange}
    3. 03
      Calculer la concentration finale
      4,9/10=0,49=49%4{,}9 / 10 = 0{,}49 = 49\%
    Réponse
    Le mélange final titre 49 % d'acide.

    On ne moyenne jamais directement des pourcentages de volumes différents : il faut sommer les quantités de substance active.

    Hypothèses, unités et cas limites

    Hypothèses à vérifier

    Une règle de trois n'est légitime que si l'énoncé garantit un rythme constant : vitesse constante, productivité constante, proportionnalité stricte. Sans cette hypothèse (explicite ou clairement implicite), tout calcul de proportionnalité est infondé.

    Unités

    Homogénéise systématiquement les unités avant de calculer : minutes et heures, centimètres et mètres, grammes et kilogrammes. C'est la source d'erreur la plus fréquente sur ce type de question, bien plus que la méthode elle-même.

    Cas limites

    • En proportionnalité directe, si X = 0 alors Y = 0.
    • En proportionnalité inverse, X et Y ne peuvent jamais être nuls (le produit constant serait indéfini).
    • Un tarif avec forfait ou palier n'est proportionnel que localement, jamais globalement.

    Raccourcis

    Cherche toujours un multiple commun simple entre les valeurs avant de passer par l'unité : c'est souvent plus rapide et évite les décimales inutiles.

    Proportionnalité directe vs inverse : tableau de synthèse

    CritèreDirecteInverse
    RelationY = k × X, quotient Y/X constantX × Y = k, produit constant
    Sens de variationX et Y varient dans le même sensX et Y varient en sens contraire
    Exemples TAGE MAGEprix / quantité, distance / temps à vitesse fixéeouvriers / durée à travail fixé, vitesse / temps à distance fixée

    QCM de révision complémentaires

    Cinq questions supplémentaires au format TAGE MAGE.

    Question type
    Facile
    Sur une carte à l'échelle 1/25 000, deux villages sont distants de 4 cm. Quelle est la distance réelle ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.
    Question type
    Intermédiaire
    3 grues identiques chargent un cargo en 8 heures. Combien de temps faudra-t-il à 4 grues identiques pour le même chargement ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.
    Question type
    Piège
    Une salle de sport facture 20 € d'inscription puis 15 € par mois d'abonnement. Le montant total payé est-il proportionnel au nombre de mois ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.
    Question type
    Avancé
    On partage 480 € entre trois personnes selon les proportions 1 : 3 : 4. Quelle est la part correspondant au coefficient 3 ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.
    Question type
    Avancé
    On mélange 2 kg d'un alliage titrant 30 % de cuivre avec 3 kg d'un alliage titrant 80 % de cuivre. Quel est le pourcentage de cuivre du mélange final ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.

    Réflexes à automatiser

    0 / 6

    Questions fréquentes

    QCM d'entraînement - Proportionnalité & règle de trois

    Questions au format TAGE MAGE : une seule bonne réponse par question. Essaye de ne pas dépasser 1 minute par question.

    Question type
    Facile
    Le prix d'un abonnement est strictement proportionnel au nombre de mois choisis. 3 mois coûtent 57 €. Combien coûtent 5 mois ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.
    Question type
    Intermédiaire
    Une imprimante imprime 240 pages en 8 minutes. À vitesse constante, combien de temps lui faudra-t-il pour imprimer 150 pages ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.
    Question type
    Intermédiaire
    Pour un trajet fixe, une voiture met 4 h à 90 km/h. Combien de temps mettra-t-elle à 120 km/h, en supposant la distance identique ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.
    Question type
    Avancé
    6 ouvriers construisent 45 mètres de clôture en 10 heures. À productivité constante, combien de mètres 8 ouvriers peuvent-ils construire en 6 heures ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.
    Question type
    Piège
    Une offre téléphonique coûte 12 € de forfait fixe plus 0,08 € par minute. Peut-on dire que le prix total est proportionnel au nombre de minutes consommées ?
    Clique sur une réponse ou affiche la solution.

    Prêt à passer à l'entraînement ?

    Applique la méthode sur des exercices chronométrés pour automatiser tes réflexes.

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