Pourcentages au TAGE MAGE : cours, pièges et exercices corrigés

Les bases des pourcentages

Un pourcentage représente une fraction de 100. Dire qu'un produit augmente de 15 %, c'est dire que la variation correspond à 15 parts sur 100 du prix initial.

p\,\% = \frac{p}{100}

Montant correspondant à p % d'une quantité

Pour calculer p % d'une quantité Q :

p\,\%\,\text{ de }Q = Q \times \frac{p}{100}

Nouvelle valeur après une augmentation de p %

Si une quantité Q augmente de p %, la nouvelle valeur est :

Q_{\text{nouveau}} = Q \times \left(1 + \frac{p}{100}\right)

Nouvelle valeur après une diminution de p %

Si une quantité Q diminue de p %, la nouvelle valeur est :

Q_{\text{nouveau}} = Q \times \left(1 - \frac{p}{100}\right)

Hypothèses, unités et cas limites

Les formules de pourcentage reposent sur des hypothèses simples, mais leur oubli est source d'erreurs fréquentes.

Référence unique : un pourcentage se calcule toujours par rapport à une base précise. « Le prix a baissé de 10 % » suppose implicitement que la base est le prix initial, pas le nouveau prix.
Sans unité propre : un pourcentage est un nombre sans dimension (une fraction). Mais la quantité de référence, elle, a une unité (€, kg, personnes) : ne perds jamais de vue à quoi s'applique le calcul.
Cas limite à 100 % : « diminuer de 100 % » ramène à 0. Diminuer de plus de 100 % n'a pas de sens pour une quantité positive (un prix ne peut pas devenir négatif par une simple remise).
Cas limite à 0 % : une variation de 0 % laisse la quantité inchangée ; le coefficient multiplicateur vaut alors 1.
Pourcentages supérieurs à 100 % : une augmentation de 150 % signifie multiplier par 2,5 (1 + 1,5), pas par 1,5. Le coefficient dépasse 2 dès que la hausse dépasse 100 %.

Exemples corrigés pas à pas

EX1Calculer 20 % de 150

On cherche 20 % de 150.

20\,\% \text{ de }150

01
Appliquer la formule
On applique la formule p % de Q = Q × p/100.
$20\,\% \text{ de }150 = 150 \times \frac{20}{100}$
02
Simplifier
On simplifie la fraction 20/100 en 1/5.
$150 \times \frac{20}{100} = 150 \times \frac{1}{5}$
03
Calculer
$150 \times \frac{1}{5} = 30$

Réponse

20 % de 150 vaut 30.

20\,\% \text{ de }150 = 30

EX2Augmentation de 15 % d'un prix

Un produit coûte 80 €. Son prix augmente de 15 %. Quel est le nouveau prix ?

80\,€ \text{ augmenté de }15\,\%

01
Appliquer le coefficient
$Q_{\text{nouveau}} = 80 \times \left(1 + \frac{15}{100}\right)$
02
Calculer le coefficient
$1 + \frac{15}{100} = 1 + 0{,}15 = 1{,}15$
03
Multiplier
$80 \times 1{,}15 = 92$

Réponse

Le nouveau prix est de

92\,€

.

EX3Hausse puis baisse du même taux (piège classique)Niveau 2

Un article coûte 200 €. Son prix augmente de 25 % puis, le mois suivant, baisse de 25 %. Quel est le prix final ? Revient-on au prix de départ ?

01
Coefficient de la hausse
$1 + \frac{25}{100} = 1{,}25$
02
Prix après hausse
$200 \times 1{,}25 = 250\,€$
03
Coefficient de la baisse
$1 - \frac{25}{100} = 0{,}75$
04
Prix après baisse
$250 \times 0{,}75 = 187{,}50\,€$

Réponse

Le prix final est de

187{,}50\,€

, soit 12,50 € de moins que le prix de départ. On ne revient jamais au point de départ : le coefficient global est 1,25 × 0,75 = 0,9375.

Retiens le mécanisme : (1+p)(1-p) = 1 - p² < 1. Plus p est grand, plus la perte finale est importante.

EX4Points de pourcentage vs pourcentage de variationNiveau 2

Le taux de chômage d'un pays passe de 8 % à 10 %. De combien de points a-t-il augmenté ? Et quelle est la variation en pourcentage ?

01
Écart en points
La différence brute entre les deux taux est $10 - 8 = 2$ points de pourcentage.
02
Variation relative
La variation relative se calcule par rapport à la valeur de départ (8 %) :
$\frac{10 - 8}{8} \times 100 = 25\,\%$

Réponse

Le taux gagne 2 points de pourcentage, ce qui correspond à une hausse relative de 25 %. Les deux résultats sont corrects mais répondent à des questions différentes.

QCM d'application

Question type

Niveau 1Temps cible · 90 s

Un produit coûte

80\,€

et son prix augmente de

15\,\%

. Quel est le nouveau prix ?