Fiche calcul TAGE MAGE : Moyennes

Pourquoi les moyennes sont omniprésentes au TAGE MAGE

Les questions de moyennes tombent régulièrement au TAGE MAGE : moyennes de notes, de prix, de vitesses, de tailles, de chiffres d'affaires, etc. Tu dois maîtriser quelques formules simples, mais surtout savoir les utiliser vite et sans erreur.

Cette fiche se limite volontairement à ce qui est utile pour le TAGE MAGE : moyenne arithmétique simple, moyenne pondérée, moyenne géométrique, moyenne harmonique (cas aller-retour) et moyennes avec données groupées (effectifs ou pourcentages).

Identifier immédiatement

Identifier immédiatement de quel type de moyenne il s'agit.

Mettre la bonne formule

Mettre la bonne formule en face du bon type de situation.

Éviter les pièges classiques

Éviter les pièges classiques (moyenne des vitesses, mélange de groupes, etc.).

Hypothèses, unités et cas limites

Moyenne de deux moyennes : on ne peut jamais faire la moyenne simple de deux moyennes sans connaître les effectifs de chaque groupe. Seule la moyenne pondérée par les effectifs donne le résultat exact.
Unités cohérentes : toutes les valeurs moyennées doivent être dans la même unité (des notes sur 20, des vitesses en km/h, etc.). Convertis avant de calculer.
Cas limite : effectifs égaux : si les deux groupes ont le même effectif, la moyenne pondérée redevient la simple moyenne arithmétique des deux moyennes.
Domaine de la moyenne géométrique : elle ne s'applique qu'à des valeurs strictement positives, typiquement des facteurs multiplicatifs (1 + taux). Elle est adaptée aux évolutions successives, pas aux valeurs brutes additives.
Domaine de la moyenne harmonique : elle s'applique à des vitesses (ou taux) parcourant une même distance ou une même quantité de référence. Elle ne convient pas si les distances parcourues à chaque vitesse sont différentes.
Comparaison générale : pour des valeurs positives distinctes, on a toujours moyenne harmonique ≤ moyenne géométrique ≤ moyenne arithmétique.

Moyenne arithmétique simple

La moyenne arithmétique d'une série de n valeurs x₁, x₂, ..., xₙ est la somme de ces valeurs divisée par le nombre de valeurs. C'est la moyenne "classique".

Deux corollaires très utiles pour le TAGE MAGE : la somme des termes est égale à la moyenne multipliée par le nombre de termes, et le nombre de termes est égal à la somme des termes divisée par la moyenne.

Formule générale

\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

Somme des termes

S = \bar{x} \times n

Nombre de termes

n = \dfrac{S}{\bar{x}}

EX1Exemple 1 - Dépense moyenne

Trois candidates dépensent respectivement 45 €, 60 € et 75 € pour un déjeuner après les oraux. Quelle est la dépense moyenne par personne ?

01
Étape
On calcule d'abord la somme S des dépenses : S = 45 + 60 + 75 = 180.
02
Étape
Il y a n = 3 personnes.
03
Étape
La moyenne arithmétique vaut donc : $\bar{x} = \dfrac{S}{n} = \dfrac{180}{3} = 60$ .

Réponse

La dépense moyenne est de 60 €.

EX2Exemple 2 - Utiliser le corollaire sur la somme

La moyenne d'âge de 4 membres d'une équipe projet est de 32 ans. Calcule la somme de leurs âges.

01
Étape
On connaît la moyenne (32) et le nombre de personnes (n = 4).
02
Étape
On utilise le corollaire : S = moyenne × nombre de termes.
03
Étape
Donc S = 32 × 4 = 128.

Réponse

La somme des âges est de 128 ans.

EX3Exemple 3 - Question type TAGE MAGE : on retire un terme

La moyenne de huit nombres est égale à 11. Quand on retire un des nombres, la moyenne des sept nombres restants devient 10. Quel est le nombre retiré ?

01
Étape
Somme initiale des 8 nombres : S₈ = 8 × 11 = 88.
02
Étape
Somme des 7 nombres restants : S₇ = 7 × 10 = 70.
03
Étape
Le nombre retiré est la différence entre les deux sommes : 88 − 70 = 18.

Réponse

Le nombre manquant vaut 18.

EX4Exemple 4 - Moyenne de deux moyennes sans effectifs égauxNiveau 2

Un groupe de 5 candidats a une moyenne de 12 à un test, un second groupe de 15 candidats a une moyenne de 16 au même test. Peut-on dire que la moyenne des deux groupes réunis est (12 + 16) / 2 = 14 ?

01
Étape
Non, car les deux groupes n'ont pas le même effectif. Il faut pondérer chaque moyenne par son effectif.
02
Étape
Somme totale des points : 5 × 12 + 15 × 16 = 60 + 240 = 300.
03
Étape
Effectif total : 5 + 15 = 20.
04
Étape
Moyenne réelle : $\dfrac{300}{20} = 15$ .

Réponse

La moyenne réelle des 20 candidats est de 15, et non 14. La moyenne simple des deux moyennes sous-estime ici la vraie moyenne car le second groupe, plus nombreux et plus fort, pèse davantage.

Réflexe à vie : dès que deux groupes de tailles différentes sont réunis, pondère toujours par les effectifs.

Moyenne pondérée

On parle de moyenne pondérée dès que certaines valeurs comptent plus que d'autres : coefficients de matières, effectifs d'élèves, pourcentages de clients dans des segments, etc.

À chaque valeur T_i on associe un poids p_i (coefficient, effectif, proportion). La moyenne pondérée est la somme des produits valeur × poids, divisée par la somme des poids.

La moyenne pondérée peut se voir comme un barycentre : le point d'équilibre de l'ensemble des valeurs compte tenu de leur poids.

Formule générale

M = \dfrac{T_1 p_1 + T_2 p_2 + \cdots + T_n p_n}{p_1 + p_2 + \cdots + p_n}

EX1Exemple 1 - Notes et coefficients

Sur un trimestre, une candidate obtient 13 en marketing (coef 4), 11 en finance (coef 3) et 15 en stratégie (coef 2). Quelle est sa moyenne générale sur ces trois matières ?

01
Étape
On applique la formule de la moyenne pondérée.
02
Étape
Numérateur : 13 × 4 + 11 × 3 + 15 × 2 = 52 + 33 + 30 = 115.
03
Étape
Dénominateur : 4 + 3 + 2 = 9.
04
Étape
Moyenne : $M = \dfrac{115}{9} \approx 12{,}78$ .

Réponse

La moyenne générale est d'environ 12,8.

EX2Exemple 2 - Deux groupes de taille différente

Dans une promotion, 30 étudiants de parcours A ont une moyenne de 12,5 et 50 étudiants de parcours B ont une moyenne de 14. Quelle est la moyenne générale de la promotion ?

01
Étape
On considère les moyennes de chaque groupe comme des valeurs T_i et les effectifs comme poids p_i.
02
Étape
Numérateur : 12,5 × 30 + 14 × 50 = 375 + 700 = 1075.
03
Étape
Dénominateur : 30 + 50 = 80.
04
Étape
Moyenne générale : $M = \dfrac{1075}{80} = 13{,}4375$ .

Réponse

La promotion a une moyenne générale d'environ 13,44.

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique intervient lorsqu'on enchaîne des multiplicateurs, typiquement des taux de croissance successifs (évolutions en pourcentage appliquées année après année).

Pour n valeurs positives x₁, x₂, ..., xₙ, la moyenne géométrique G est la racine nième du produit de ces valeurs.

Dans un contexte de taux, on travaille le plus souvent avec des facteurs du type 1 + t₁, 1 + t₂, etc., puis on retire 1 à la fin pour retrouver un taux moyen.

Formule générale

G = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}

Cas de deux valeurs

G = \sqrt{ab}

EX1Exemple 1 - Taux de croissance moyen sur deux années

Un chiffre d'affaires progresse de 10 % la première année puis de 20 % la deuxième année. Quel est le taux de croissance annuel moyen sur ces deux années ?

01
Étape
On convertit les taux en facteurs multiplicatifs : 1,10 et 1,20.
02
Étape
Moyenne géométrique des facteurs : $G = \sqrt{1{,}10 \times 1{,}20} = \sqrt{1{,}32}$ .
03
Étape
Numériquement, $\sqrt{1{,}32} \approx 1{,}149$ .

Réponse

Le facteur moyen est donc d'environ 1,149, soit un taux moyen proche de 14,9 % par an.

EX2Exemple 2 - Hausse puis baisse

Un prix augmente de 25 % la première année puis diminue de 20 % la deuxième année. Quel est le taux moyen annuel d'évolution sur ces deux années ?

01
Étape
Facteurs multiplicatifs : 1,25 puis 0,80.
02
Étape
Moyenne géométrique des facteurs : $G = \sqrt{1{,}25 \times 0{,}80} = \sqrt{1}$ .
03
Étape
On obtient G = 1 : le facteur moyen est 1, le taux moyen est donc 0 %.

Réponse

Interprétation : sur deux ans, l'effet de la hausse puis de la baisse se compense exactement.

Moyenne harmonique (cas des vitesses moyennes aller-retour)

La moyenne harmonique apparaît classiquement dès qu'on calcule une vitesse moyenne sur un trajet aller-retour effectué à des vitesses différentes sur la même distance.

Si un objet parcourt une même distance à n vitesses v₁, v₂, ..., vₙ, la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est la moyenne harmonique de ces vitesses.

Pour deux vitesses v₁ et v₂, cas le plus fréquent au TAGE MAGE, on utilise une formule simplifiée très pratique.

Formule générale (n vitesses)

H = \dfrac{n}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2} + \cdots + \dfrac{1}{v_n}}

Cas classique aller-retour

H = \dfrac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}

EX1Exemple 1 - Aller-retour à deux vitesses

Un candidat se rend au centre d'examen à 60 km/h et rentre chez lui par le même trajet à 90 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble de l'aller-retour ?

01
Étape
On est dans le cas d'un aller-retour sur la même distance avec deux vitesses différentes.
02
Étape
On utilise la formule de la moyenne harmonique pour deux vitesses.
03
Étape
$H = \dfrac{2 \times 60 \times 90}{60 + 90} = \dfrac{10800}{150} = 72$

Réponse

La vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est de 72 km/h.

EX2Exemple 2 - Piège classique à éviter

Un coureur fait l'aller d'un parcours à 12 km/h et le retour à 18 km/h. Peut-on dire que sa vitesse moyenne est (12 + 18) / 2 = 15 km/h ?

01
Étape
Non, car il ne passe pas le même temps à 12 km/h et à 18 km/h. La moyenne arithmétique des vitesses est ici trompeuse.
02
Étape
On doit utiliser la moyenne harmonique : $H = \dfrac{2 \times 12 \times 18}{12 + 18} = \dfrac{432}{30} = 14{,}4$ km/h.

Réponse

La vitesse moyenne réelle est de 14,4 km/h, pas 15 km/h.

EX3Exemple 3 - Trois tronçons de même distanceNiveau 2

Un cycliste parcourt trois tronçons de même longueur, respectivement à 10 km/h, 15 km/h et 30 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?

01
Étape
Les trois tronçons ont la même distance : on utilise la moyenne harmonique à 3 valeurs.
02
Étape
Inverses : $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{3}{30} + \dfrac{2}{30} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}$ .
03
Étape
Vitesse moyenne : $H = \dfrac{3}{\frac{1}{5}} = 3 \times 5 = 15$ km/h.

Réponse

La vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours est de 15 km/h.

La moyenne harmonique fonctionne aussi avec plus de deux vitesses, tant que la distance parcourue à chaque vitesse est la même.

Données groupées : effectifs et pourcentages

Les données groupées apparaissent quand on te donne des valeurs possibles accompagnées de leurs effectifs ou de leurs pourcentages : par exemple, 40 % des produits ont un prix moyen de 12 €, 60 % un prix moyen de 18 €, etc.

Dans ce cas, la moyenne de l'ensemble n'est rien d'autre qu'une moyenne pondérée où les poids sont les effectifs ou les proportions.

Si f_i désigne l'effectif (ou la fréquence) associé à une valeur x_i, la moyenne générale est donnée par la somme des produits x_if_i divisée par la somme des f_i.

Moyenne avec effectifs

M = \dfrac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \cdots + x_n f_n}{f_1 + f_2 + \cdots + f_n}

Moyenne avec pourcentages

M = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

Ici les p_i sont des proportions ou pourcentages convertis en nombres décimaux dont la somme vaut 1.

EX1Exemple 1 - Effectifs dans deux classes

Dans la filière 1, les 20 étudiants ont une moyenne de 11. Dans la filière 2, les 30 étudiants ont une moyenne de 14. Quelle est la moyenne générale des 50 étudiants ?

01
Étape
On considère les deux moyennes comme valeurs x_i et les effectifs comme effectifs f_i.
02
Étape
Numérateur : 11 × 20 + 14 × 30 = 220 + 420 = 640.
03
Étape
Dénominateur : 20 + 30 = 50.
04
Étape
Moyenne générale : $M = \dfrac{640}{50} = 12{,}8$ .

Réponse

La moyenne générale est de 12,8.

EX2Exemple 2 - Pourcentages de clients

Une entreprise réalise 40 % de ses ventes avec une marge moyenne de 12 % sur le segment A et 60 % de ses ventes avec une marge moyenne de 18 % sur le segment B. Quelle est la marge moyenne globale ?

01
Étape
On travaille ici avec des pourcentages, donc avec des fréquences p₁ et p₂ dont la somme est 1.
02
Étape
Marge moyenne : M = 0,40 × 12 % + 0,60 × 18 %.
03
Étape
On calcule : 0,40 × 12 = 4,8 et 0,60 × 18 = 10,8.

Réponse

Marge moyenne globale : 4,8 % + 10,8 % = 15,6 %.

Effet d'une valeur extrême et médiane vs moyenne

La moyenne arithmétique est sensible aux valeurs extrêmes : une seule valeur très éloignée des autres peut fortement déplacer la moyenne, alors qu'elle ne modifie presque jamais la médiane (la valeur centrale d'une série ordonnée).

La médiane partage la série en deux effectifs égaux une fois les valeurs rangées dans l'ordre. Elle est particulièrement utile lorsqu'une série contient des valeurs aberrantes ou très dispersées (salaires, patrimoines, etc.).

EX1Exemple - Une valeur extrême qui déforme la moyenneNiveau 2

Neuf salariés d'une petite entreprise ont un salaire mensuel de 2 000 € chacun, sauf le dirigeant qui perçoit 20 000 €. Compare la moyenne et la médiane des dix salaires.

01
Étape
Somme des salaires : 9 × 2 000 + 20 000 = 18 000 + 20 000 = 38 000 €.
02
Étape
Moyenne : $\dfrac{38\,000}{10} = 3\,800$ €.
03
Étape
Pour la médiane de 10 valeurs ordonnées, on prend la moyenne des 5ᵉ et 6ᵉ valeurs : ici, ce sont deux salaires à 2 000 €, donc la médiane vaut 2 000 €.

Réponse

La moyenne (3 800 €) est bien plus élevée que la médiane (2 000 €) : le salaire du dirigeant, valeur extrême, tire fortement la moyenne vers le haut sans changer la situation du salarié médian.

Dès qu'une série comporte une valeur très éloignée des autres, la médiane donne une image plus représentative de la situation typique que la moyenne.

Exercices gradués corrigés supplémentaires

EX5Exercice 1 (facile) - Moyenne pondérée à deux groupes

Un jury note 25 candidats à l'écrit avec une moyenne de 14 et 15 candidats à l'oral (candidats différents) avec une moyenne de 10. Quelle est la moyenne générale des 40 candidats ?

01
Étape
On pondère chaque moyenne par son effectif : Numérateur = 25 × 14 + 15 × 10 = 350 + 150 = 500.
02
Étape
Dénominateur : 25 + 15 = 40.
03
Étape
Moyenne générale : $M = \dfrac{500}{40} = 12{,}5$ .

Réponse

La moyenne générale des 40 candidats est de 12,5.

EX6Exercice 2 (intermédiaire) - Taux moyen sur trois ansNiveau 2

Le chiffre d'affaires d'une entreprise évolue de +10 % la première année, de -5 % la deuxième année, et de +8 % la troisième année. Quel est le facteur multiplicatif moyen annuel (moyenne géométrique) ?

01
Étape
Facteurs multiplicatifs : 1,10 ; 0,95 ; 1,08.
02
Étape
Produit des facteurs : $1{,}10 \times 0{,}95 \times 1{,}08 \approx 1{,}1286$ .
03
Étape
Moyenne géométrique : $G = \sqrt[3]{1{,}1286} \approx 1{,}0412$ .

Réponse

Le facteur multiplicatif moyen est d'environ 1,041, soit un taux de croissance annuel moyen proche de 4,1 %.

Sur trois évolutions successives, on utilise la racine cubique du produit des trois facteurs, pas la moyenne arithmétique des trois taux.

EX7Exercice 3 (difficile) - Combiner effectifs et valeur extrêmeNiveau 3

Un groupe de 9 candidats obtient une moyenne de 12 à un exercice. Un dixième candidat rejoint le groupe et obtient 32 à ce même exercice. Quelle est la nouvelle moyenne des 10 candidats, et de combien de points a-t-elle augmenté ?

01
Étape
Somme initiale des 9 candidats : S₉ = 9 × 12 = 108.
02
Étape
Nouvelle somme avec le dixième candidat : S₁₀ = 108 + 32 = 140.
03
Étape
Nouvelle moyenne : $\dfrac{140}{10} = 14$ .
04
Étape
Augmentation : 14 - 12 = 2 points.

Réponse

La nouvelle moyenne est de 14, soit une hausse de 2 points par rapport à la moyenne initiale de 12.

Un seul candidat très au-dessus du groupe peut augmenter sensiblement la moyenne : c'est le même effet qu'une valeur extrême dans n'importe quelle série.

Questions de révision

Question type

Moyenne pondéréeFacile

Dans une entreprise, 25 salariés du service A ont une ancienneté moyenne de 14 ans et 15 salariés du service B ont une ancienneté moyenne de 10 ans. Quelle est l'ancienneté moyenne de l'ensemble des 40 salariés ?