Intérêts simples et composés, remises et TVA | Cours TAGE MAGE

Objectifs de cette fiche

Calculer une remise commerciale
Calculer un prix TTC à partir du HT
Calculer des intérêts simples et composés
Maîtriser les coefficients multiplicateurs

Formules clés

Montant de la remise

Pour un taux de remise r appliqué à un prix initial P :

R = r \times P

Prix après remise

Coefficient multiplicateur = (1 - r)

P' = P \times (1 - r)

Prix TTC à partir du HT

Avec un taux de TVA t :

P_{TTC} = P_{HT} \times (1 + t)

Intérêts simples

Capital C placé au taux i pendant n périodes :

I = C \times i \times n

Capital final (intérêts simples)

Le montant final après intérêts simples :

A = C \times (1 + i \times n)

Capital final (intérêts composés)

Le montant final après n périodes d'intérêts composés au taux i :

A = C \times (1 + i)^n

Hypothèses, unités et cas limites

Cohérence des unités de temps : dans I = C × i × n, le taux i et la durée n doivent être exprimés dans la même unité de temps (les deux en années, ou les deux en mois).
Taux annuel par défaut : sauf précision contraire, un taux d'intérêt donné sans unité de temps est considéré comme annuel.
Cas limite n = 0 : aucun intérêt n'est généré (A = C), que ce soit en simple ou en composé.
Cas limite n = 1 : intérêts simples et intérêts composés donnent exactement le même résultat, car (1 + i) = (1 + i × 1).
Remises et TVA successives ne s'additionnent jamais : elles se composent multiplicativement, coefficient par coefficient.
La TVA se retire toujours en divisant, jamais en appliquant un pourcentage négatif du TTC : diviser par (1 + t), et non multiplier par (1 - t).

Coefficients multiplicateurs

Le coefficient multiplicateur permet de calculer directement le nouveau montant en une seule opération :

Remise de 15 %

1 - 0{,}15 = 0{,}85

Remise de 30 %

1 - 0{,}30 = 0{,}70

TVA de 20 %

1 + 0{,}20 = 1{,}20

TVA de 5,5 %

1 + 0{,}055 = 1{,}055

Augmentation de 25 %

1 + 0{,}25 = 1{,}25

Focus : Intérêts simples vs intérêts composés

Les intérêts simples ne sont pas capitalisés : on touche des intérêts uniquement sur le capital de départ, pas sur les intérêts déjà acquis. Les intérêts composés, eux, sont réinvestis à chaque période : les intérêts de la période n rapportent eux-mêmes des intérêts en période n+1.

I = C \times i \times n \quad\text{et}\quad A_{\text{simple}} = C \times (1 + i \times n)

A_{\text{composé}} = C \times (1 + i)^n

C = capital initial

i = taux d'intérêt par période (ex : 3 % = 0,03)

n = nombre de périodes (même unité que le taux)

I = montant des intérêts (intérêts simples)

A = capital acquis (final)

Applications corrigées

Exemple 1Prix après remise puis TVA

Achat d'un ordinateur avec remise promotionnelle.Un ordinateur coûte 1 200 € TTC (TVA 20 %). Un magasin fait une remise de 15 % sur le prix TTC. 1) Prix TTC après remise ? 2) Prix HT correspondant ?

01
Coefficient multiplicateur pour 15 % de remise
$1 - 0{,}15 = 0{,}85$
02
Prix TTC après remise
$P'_{TTC} = 1200 \times 0{,}85 = 1020\,€$
03
Prix HT correspondant (on « retire » la TVA en divisant)
$P_{HT} = \frac{1020}{1{,}20} = 850\,€$

Réponse

Après remise : 1 020 € TTC, soit 850 € HT (la TVA représente 170 €).

Exemple 2Placement à intérêts simples

Placement d'une somme sur un livret.Un élève place 2 000 € sur un livret au taux simple de 2,5 % par an. 1) Intérêts obtenus au bout de 3 ans ? 2) Capital final ?

01
Formule des intérêts simples : I = C × i × n
$I = 2000 \times 0{,}025 \times 3$
02
Calcul
$I = 2000 \times 0{,}025 \times 3 = 150\,€$
03
Capital final
$A = 2000 + 150 = 2150\,€$

Réponse

Après 3 ans : 150 € d'intérêts, capital final de 2 150 €.

Exemple 3Intérêts composés sur deux ansNiveau 2

Un capital de 5 000 € est placé à intérêts composés au taux de 4 % par an, sur 2 ans. Compare le résultat avec un placement à intérêts simples au même taux.

01
Intérêts composés : A = C × (1 + i)ⁿ
$A_{\text{composé}} = 5000 \times (1{,}04)^2 = 5000 \times 1{,}0816 = 5408\,€$
02
Intérêts simples : A = C × (1 + i × n)
$A_{\text{simple}} = 5000 \times (1 + 0{,}04 \times 2) = 5000 \times 1{,}08 = 5400\,€$
03
Comparaison
L'écart entre les deux méthodes est de 8 € sur 2 ans : il provient des intérêts générés par les intérêts de la première année (5000 × 0,04 × 0,04 = 8 €).

Réponse

Intérêts composés : 5 408 €. Intérêts simples : 5 400 €. L'écart, faible ici, grandit fortement avec la durée du placement.

Sur n = 1, les deux méthodes coïncident toujours. L'écart n'apparaît qu'à partir de n = 2 et croît ensuite de façon exponentielle en intérêts composés.

Exemple 4Deux remises successives, pas une remise uniqueNiveau 2

Un magasin annonce « -20 % puis -10 % supplémentaires » sur un article à 150 €. Un client pense que cela équivaut à une remise unique de 30 %. A-t-il raison ? Calcule le prix final réel.

01
Coefficients successifs
Remise de 20 % → ×0,80, puis remise de 10 % → ×0,90.
02
Prix final réel
$150 \times 0{,}80 \times 0{,}90 = 150 \times 0{,}72 = 108\,€$
03
Comparaison avec une remise unique de 30 %
$150 \times 0{,}70 = 105\,€$

Réponse

Le client a tort : le prix final réel est de 108 €, alors qu'une remise unique de 30 % aurait donné 105 €. Deux remises successives de 20 % et 10 % équivalent à une remise unique de 28 % seulement (1 - 0,72 = 0,28).