Géométrie : toutes les formules utiles au TAGE MAGE

Figures planes usuelles

Cercle

Ensemble des points à distance r d'un point appelé centre. Diamètre = 2r.

Triangle

Figure à 3 côtés (rectangle, isocèle, équilatéral...).

Quadrilatères particuliers

Trapèze : deux côtés opposés parallèles
Parallélogramme : côtés opposés parallèles deux à deux
Losange : parallélogramme avec quatre côtés de même longueur
Rectangle : quadrilatère avec quatre angles droits
Carré : rectangle avec quatre côtés égaux

Périmètres des figures planes

Le périmètre est la longueur du contour de la figure.

Figure	Paramètres	Formule
Triangle quelconque	côtés a, b, c	$P = a + b + c$
Triangle équilatéral	côté c	$P = 3c$
Rectangle	longueur L, largeur l	$P = 2(L + l)$
Carré	côté c	$P = 4c$
Losange	côté c	$P = 4c$
Polygone régulier à n côtés	côté c	$P = n \times c$
Cercle	rayon r	$P = 2\pi r$
Arc de cercle	rayon r, angle α (degrés)	$L_{arc} = \dfrac{\alpha}{360} \times 2\pi r$

Aires des figures planes

L'aire mesure la surface de la figure (en cm², m²...).

Triangles

Triangle quelconque

A = \dfrac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2}

Triangle équilatéral (côté c)

A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}c^{2}

Hauteur triangle équilatéral

h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}c

Quadrilatères

Figure	Paramètres	Aire
Rectangle	longueur L, largeur l	$A = L \times l$
Carré	côté c	$A = c^{2}$
Parallélogramme	base b, hauteur h	$A = b \times h$
Losange	diagonales D et d	$A = \dfrac{D \times d}{2}$
Trapèze	bases B, b, hauteur h	$A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$

Disque et portion de disque

Disque

A = \pi r^{2}

Secteur circulaire (angle α)

A = \dfrac{\alpha}{360} \times \pi r^{2}

Volumes et aires des solides usuels

Le volume mesure la place occupée dans l'espace (en cm³, m³...).

Solide	Volume	Aire
Pavé droit L, l, h	$V = L \times l \times h$	$S = 2(Ll + Lh + lh)$
Cube côté c	$V = c^{3}$	$S = 6c^{2}$
Cylindre rayon r, hauteur h	$V = \pi r^{2}h$	$S = 2\pi r(r + h)$
Cône rayon r, hauteur h	$V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$	$S = \pi r g \text{ (g = génératrice)}$
Sphère rayon r	$V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$	$S = 4\pi r^{2}$
Pyramide aire base A, hauteur h	$V = \dfrac{1}{3} A_{base} h$	-

Unités d'aire et de volume : les facteurs 100 et 1 000

Les conversions d'unités sont une source classique d'erreur au TAGE MAGE. Retiens la règle générale : pour une longueur, le facteur entre deux unités consécutives (m, dm, cm...) est 10 ; pour une aire, ce facteur est élevé au carré, soit 100 ; pour un volume, il est élevé au cube, soit 1 000.

Unités d'aire

Conversion	Grandeur	Équivalence
1 km²	surface	$= 1\,000\,000 \text{ m}^{2}$
1 m²	surface	$= 10\,000 \text{ cm}^{2}$
1 dm²	surface	$= 100 \text{ cm}^{2}$
1 cm²	surface	$= 100 \text{ mm}^{2}$

Unités de volume

Conversion	Grandeur	Équivalence
1 m³	volume	$= 1\,000\,000 \text{ cm}^{3}$
1 dm³	volume	$= 1\,000 \text{ cm}^{3} = 1 \text{ L}$
1 cm³	volume	$= 1 \text{ mL}$

Effet d'un agrandissement de rapport k

Quand une figure est agrandie (ou réduite) avec un rapport k appliqué à toutes ses longueurs, les aires et les volumes ne sont pas multipliés par k, mais par des puissances de k.

Grandeur	Effet du rapport k	Formule
Longueurs	multipliées par k	$L' = k \times L$
Aires	multipliées par k²	$A' = k^{2} \times A$
Volumes	multipliés par k³	$V' = k^{3} \times V$

EXKExemple - Cube agrandi avec un rapport k = 3

Un cube a une arête de 2 cm. On l'agrandit avec un rapport k = 3. Quelles sont l'aire d'une face et le volume du nouveau cube ?

01
Étape
Nouvelle arête : 2 × 3 = 6 cm.
02
Étape
Aire d'une face : elle est multipliée par k² = 9. Aire initiale = 2² = 4 cm², nouvelle aire = $4 \times 9 = 36$ cm².
03
Étape
Volume : il est multiplié par k³ = 27. Volume initial = 2³ = 8 cm³, nouveau volume = $8 \times 27 = 216$ cm³.

Réponse

La nouvelle aire d'une face est 36 cm² et le nouveau volume est 216 cm³.

Ne multiplie jamais directement l'aire ou le volume par k : pense toujours à k² pour les aires et k³ pour les volumes.

Théorèmes clés à connaître

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans tout triangle ABC de côtés opposés a, b, c :

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos(\widehat{A})

Ce théorème généralise Pythagore (on le retrouve quand $\widehat{A} = 90°$ , car $\cos 90° = 0$ ).

Somme des angles

Dans tout triangle : $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
Dans tout quadrilatère : somme des angles = $360°$

Conditions d'application de Pythagore et de Thalès

Pythagore

Le triangle doit être rectangle : si l'énoncé ne le précise pas, il faut le prouver (par exemple avec la réciproque de Pythagore, en vérifiant que a² + b² = c²).
C'est toujours le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long du triangle) qui est isolé dans la formule.

Thalès

Il faut deux droites sécantes en un point, coupées par deux droites parallèles entre elles.
Les points doivent être alignés dans le même ordre sur chacune des deux sécantes (configuration triangle ou papillon).
Le théorème donne l'égalité de rapports de longueurs : il permet de calculer une longueur manquante, mais ne dit rien sur les angles.
La réciproque de Thalès permet, à l'inverse, de démontrer que deux droites sont parallèles à partir de l'égalité de rapports.

Exercices gradués corrigés

EG1Exercice 1 (facile) - Aire d'un trapèze

Un trapèze a deux bases de 8 cm et 12 cm, et une hauteur de 5 cm. Quelle est son aire ?

01
Étape
On applique la formule de l'aire du trapèze : A = (B + b) × h / 2.
02
Étape
Calcul : $A = \dfrac{(12 + 8) \times 5}{2} = \dfrac{100}{2} = 50$ cm².

Réponse

L'aire du trapèze est de 50 cm².

EG2Exercice 2 (intermédiaire) - Volume d'une sphère

Une sphère a un rayon de 3 cm. En prenant π = 3, quel est son volume ?

01
Étape
On applique la formule du volume de la sphère : V = (4/3) × π × r³.
02
Étape
Calcul : $V = \dfrac{4}{3} \times 3 \times 3^{3} = 4 \times 27 = 108$ cm³.

Réponse

Le volume de la sphère est de 108 cm³.

EG3Exercice 3 (intermédiaire) - Application de Pythagore

Une échelle de 10 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 6 m du mur. À quelle hauteur du mur l'échelle atteint-elle ?

01
Étape
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse.
02
Étape
Par Pythagore : $h^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64$ .
03
Étape
Donc $h = \sqrt{64} = 8$ m.

Réponse

L'échelle atteint une hauteur de 8 m sur le mur.

EG4Exercice 4 (difficile) - Application de ThalèsNiveau 2

Dans un triangle ABC, D est un point de [AB] et E un point de [AC] tels que (DE) soit parallèle à (BC). On donne AD = 4 cm, AB = 10 cm et DE = 6 cm. Quelle est la longueur BC ?

01
Étape
Les droites (DE) et (BC) sont parallèles, et D, E sont alignés respectivement avec A, B et A, C : les conditions de Thalès sont réunies.
02
Étape
Rapport de Thalès : $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$ , soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{BC}$ .
03
Étape
On isole BC : $BC = \dfrac{6 \times 10}{4} = 15$ cm.

Réponse

BC mesure 15 cm.

Toujours vérifier le parallélisme et l'alignement des points avant d'écrire les rapports de Thalès.

Mini-applications corrigées

Question type

Aire triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 4 cm. Quelle est l'aire de ce triangle ?