Vitesses, temps et distances - Méthode complète TAGE MAGE

Trois lettres : V, T et D

On rencontre en VTD trois grandeurs et seulement trois :

V

la vitesse (à quelle rapidité l'objet se déplace)

T

le temps ou la durée

D

la distance parcourue

Au TAGE MAGE, toutes les questions VTD se ramènent aux trois formules suivantes.

Les trois formules fondamentales

Vitesse

V = \dfrac{D}{T}

Distance

D = V \times T

Temps

T = \dfrac{D}{V}

La vitesse est le quotient de la distance parcourue par le temps mis pour la parcourir. Unités typiques au TAGE MAGE : km/h, m/s.

Exemple : Un train parcourt 300 km en 3 h. Sa vitesse est V = 300 / 3 = 100 km/h.

La distance est le produit de la vitesse par le temps.

Exemple : Une voiture roule à 90 km/h pendant 2 h 20. En notant 2 h 20 = 7/3 h, on obtient D = 90 × 7/3 = 210 km.

Le temps est le quotient de la distance par la vitesse.

Exemple : Un marcheur parcourt 13 km à 4 km/h. T = 13 / 4 = 3,25 h, soit 3 h 15 min.

Le piège numéro 1 : les unités

01
Les unités de V, T et D sont-elles cohérentes entre elles ?
02
Faut-il convertir des minutes en heures, des km en m, etc. ?

Exemple classique : 6 h 30 min = 6,5 h (et non 6,3 !)

Conversions utiles (km/h ↔ m/s)

Le TAGE MAGE adore les conversions entre km/h et m/s. À connaître par cœur :

m/s → km/h

V_{km/h} = V_{m/s} \times 3{,}6

km/h → m/s

V_{m/s} = \dfrac{V_{km/h}}{3{,}6}

Exemple : 10 m/s = 10 × 3,6 = 36 km/h.

Exemple : 90 km/h = 90 / 3,6 = 25 m/s.

Le tableau VTD pour clarifier les énoncés

Pour les énoncés avec plusieurs acteurs (deux voitures, un train et un marcheur, etc.), un tableau VTD permet de tout mettre à plat :

Acteur	V (vitesse)	T (temps)	D (distance)
Acteur 1	V₁	T₁	D₁
Acteur 2	V₂	T₂	D₂

Cas classiques au TAGE MAGE

CAS1Cas n°1 : le rattrapage

Intuition : Deux objets partent du même point mais à des instants ou vitesses différentes. Le plus rapide finit par rattraper le plus lent.

Équation clé

D_1 = D_2

Exemple détaillé

Jeanne part à 12 h de la ville A vers la ville B à 48 km/h. Jean part du même point à 13 h, à 60 km/h, vers la même ville. À quelle heure Jean rattrape-t-il Jeanne ?

Acteur	V	T	D
Jeanne	48 km/h	T_Jean + 1	D_rattrapage
Jean	60 km/h	T_Jean	D_rattrapage

01
Étapes
Construire le tableau VTD pour les deux acteurs.
02
Étapes
Exprimer D₁ et D₂ avec D = V × T.
03
Étapes
Poser l'égalité D₁ = D₂ et résoudre l'équation en T.
04
Équation
Équation : $60 T_{Jean} = 48 (T_{Jean} + 1)$
60 T_Jean = 48 T_Jean + 48
12 T_Jean = 48
T_Jean = 4 h
05
Étapes
En déduire l'heure ou la distance du rattrapage.

Réponse

Jean rattrape Jeanne 4 h après son départ, donc à 17 h.

Astuce : On peut aussi raisonner avec la « vitesse de rattrapage » : 60 − 48 = 12 km/h. En 1 h, Jean gagne 12 km sur Jeanne. Il lui fallait donc 4 h pour combler 48 km d'avance.

CAS2Cas n°2 : l'aller‑retour (vitesse moyenne)

Intuition : Un coureur fait l'aller et le retour entre deux villes à des vitesses différentes. On cherche la vitesse moyenne sur tout le trajet.

Un coureur effectue l'aller Paris → Versailles à 8 km/h et le retour à 14 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?

01
Formule spéciale (moyenne harmonique)
$V_{moy} = \dfrac{2 V_1 V_2}{V_1 + V_2}$
Cette formule correspond à une moyenne harmonique des vitesses pour un aller‑retour sur une même distance.
02
Application
On applique la formule : $V_{moy} = \dfrac{2 \times 8 \times 14}{8 + 14}$
$V_{moy} = \dfrac{224}{22} \approx 10{,}2$ km/h.

Réponse

La vitesse moyenne est d'environ 10,2 km/h.

CAS3Cas n°3 : changement de vitesse sur des distances différentes

Intuition : Un même objet parcourt une distance D₁ à la vitesse V₁ puis une distance D₂ à la vitesse V₂. On cherche la vitesse moyenne sur D₁ + D₂.

Formule générale

V_{moy} = \dfrac{D_1 + D_2}{\dfrac{D_1}{V_1} + \dfrac{D_2}{V_2}}

On additionne les distances, on additionne les temps, puis on fait distance totale / temps total.

Exemple détaillé

Une voiture roule 1 h à 80 km/h, puis 60 km à 120 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?

01
Étape
Pendant la première phase, la voiture parcourt D₁ = 80 km.
02
Étape
Pendant la seconde, elle parcourt D₂ = 60 km.
03
Étape
Temps total : T = 1 h + (60 / 120) h = 1 h + 0,5 h = 1,5 h.
04
Étape
Distance totale : D = 80 + 60 = 140 km.

Réponse

Vitesse moyenne : Vmoy = 140 / 1,5 ≈ 93,33 km/h.

Hypothèses, unités et cas limites

Les formules V = D/T, D = V × T et T = D/V supposent un mouvement à vitesse constante sur la portion considérée. Dès qu'un énoncé change les vitesses en cours de route, il faut découper le trajet en phases et raisonner sur les distances et temps de chaque phase, pas sur une seule formule globale.

Cas limites à repérer :

Vitesse nulle ou temps nul

Si T = 0, la formule V = D/T n'a pas de sens (division par zéro) : un énoncé ne peut pas demander une vitesse « instantanée » avec ces outils.

Distances égales, vitesses différentes

Aller-retour ou deux trajets de même longueur → la vitesse moyenne est une moyenne harmonique, jamais une moyenne arithmétique.

Temps égaux, vitesses différentes

Si l'objet roule le même temps à chaque vitesse (et non la même distance), alors la vitesse moyenne redevient une simple moyenne arithmétique (V1+V2)/2.

Rattrapage impossible

Si le poursuivant part plus tard mais roule moins vite que celui qu'il pourchasse, l'équation D1 = D2 donne un temps négatif : le rattrapage n'a pas lieu.

Croisement de deux mobiles

Dans un problème de croisement, deux objets partent de deux points différents, souvent l'un vers l'autre, et on cherche l'instant ou le lieu où ils se croisent.

Équation cléD₁ + D₂ = D_totale

Contrairement au rattrapage (où D₁ = D₂), dans un croisement les deux distances parcourues s'additionnent pour former la distance totale qui séparait les deux mobiles au départ.

CAS4Cas n°4 : le croisementIntermédiaire

Deux villes A et B sont distantes de 210 km. Un train part de A vers B à 60 km/h au même instant qu'un autre train part de B vers A à 80 km/h. Au bout de combien de temps se croisent-ils ?

01
Modéliser
Les deux trains se rapprochent l'un de l'autre : leurs distances parcourues s'additionnent et doivent atteindre 210 km.
02
Poser l'équation
Après un temps T commun : $60T + 80T = 210$
03
Résoudre
$140T = 210 \Rightarrow T = 1{,}5$ h

Réponse

Les deux trains se croisent 1 h 30 après leur départ, à 90 km de A (60 × 1,5).

Réflexe : addition des distances pour un croisement (ils se rapprochent), égalité des distances pour un rattrapage (l'un poursuit l'autre).

CAS5Cas n°5 : débit et travail cumulé, l'analogie avec V-T-DIntermédiaire

Un robinet remplit une piscine de 18 m³ à un débit de 4 m³/h. Un second robinet, ouvert en même temps, a un débit de 5 m³/h. Au bout de combien de temps la piscine est-elle pleine ?

01
Repérer l'analogie
Un débit fonctionne exactement comme une vitesse : Volume = Débit × Temps, comme Distance = Vitesse × Temps.
02
Cumuler les débits
Les deux robinets travaillent ensemble : le débit total est la somme des débits, soit 4 + 5 = 9 m³/h.
03
Résoudre
$T = \dfrac{18}{9} = 2$ heures.

Réponse

La piscine est pleine au bout de 2 heures.

Astuce : tout problème de « travaux cumulés » (robinets, machines, ouvriers) se traite comme un problème VTD en remplaçant vitesse par débit et distance par quantité produite.

Exercices d'application - Niveau de base

Commence par ces questions « classiques ». Essaie de les faire en temps limité (30 à 45 secondes par question).

Calcul de vitesse · Facile

Une voiture parcourt 810 km en 9 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Calcul de distance · Facile

Un joggeur court à 10 km/h pendant 1 h 45 min. Quelle distance parcourt-il ?

Calcul de temps · Facile

Un marcheur parcourt 13 km à la vitesse constante de 4 km/h. Combien de temps met-il ?

Conversion km/h → m/s · Facile

La vitesse d'un sprinter est de 36 km/h. À combien cela correspond-il en m/s ?

Aller-retour · Intermédiaire

Une nageuse parcourt l'aller d'un bassin en eau libre à 4 km/h et le retour à 6 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?

Réflexes avant de te lancer dans le calcul

0 / 7

J'ai identifié ce que je cherche : une vitesse, un temps ou une distance.J'ai vérifié que les unités de V, T et D sont homogènes (km/h avec km et h, m/s avec m et s).J'ai converti les minutes en heures décimales (45 min = 0,75 h) et non en centièmes (0,45).Si deux vitesses différentes portent sur la même distance, je pense moyenne harmonique.Si deux vitesses différentes portent sur le même temps, je peux utiliser la moyenne arithmétique.En cas de rattrapage, je pose D1 = D2 ; en cas de croisement, je pose D1 + D2 = distance totale.Pour un problème de débit ou de travail, je transpose direct D = V × T en Quantité = Débit × Temps.

Questions de révision style TAGE MAGE

Question type

Vitesse moyenneIntermédiaire

Un cycliste parcourt l'aller d'un trajet à 15 km/h et le retour, sur la même route, à 10 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?