Dénombrement & Probabilités

Rappels de dénombrement

1.1 Factorielle

n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n

La factorielle de $n$ (notée $n!$ ) est le produit de tous les entiers de 1 à $n$ . Par convention, $0! = 1$ .

Valeurs à connaître par cœur : $1! = 1,\ 2! = 2,\ 3! = 6,\ 4! = 24,\ 5! = 120,\ 6! = 720,\ 7! = 5\,040,\ 8! = 40\,320$ .

Dès que tu dois ranger des objets différents dans un certain ordre, pense factorielle.

1.2 Listes ordonnées avec répétition

\text{Nombre de p-listes} = n^p

On dispose de $n$ éléments distincts. On effectue $p$ choix successifs avec remise : après chaque tirage, on remet l'élément, donc il peut être repris.

Exemple : Un digicode à 4 chiffres (0-9), avec répétition autorisée. $n = 10$ , $p = 4$ → $10^4 = 10\,000$ codes possibles.

1.3 Arrangements sans répétition

A(n,p) = \dfrac{n!}{(n-p)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-p+1)

On dispose de $n$ éléments distincts et on en tire $p$ , successivement sans remise. L'ordre compte et un élément tiré ne peut plus être tiré.

Exemple : Choisir un président, un vice‑président et un trésorier parmi 5 personnes différentes : $A(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ possibilités.

1.4 Combinaisons

C(n,p) = \binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}

On dispose de $n$ éléments distincts et on en choisit $p$ simultanément : l'ordre n'importe pas.

Exemple : Choisir une équipe de 3 élèves parmi 10 : $C(10,3) = \dfrac{10!}{3! \times 7!} = 120$ équipes possibles.

1.5 Modèles d'urnes au TAGE MAGE
Type de tirage	Formule	Mot-clé
Successif avec remise	$n^p$	Listes
Successif sans remise	$A(n,p)$	Arrangements
Simultané	$C(n,p)$	Combinaisons

Probabilités : définitions et outils essentiels

2.1 Univers, événements, probabilité

On note

\Omega

l'ensemble de toutes les issues possibles (univers). Un événement est un sous-ensemble de

\Omega

.

Propriétés

P(\Omega) = 1

; pour tout événement A :

0 \le P(A) \le 1

;

P(\emptyset) = 0

; si A et B sont incompatibles :

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

.

2.2 Événement contraire

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Union

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

L'événement contraire de A (noté $\bar{A}$ ) regroupe toutes les issues où A ne se produit pas.

Pour deux événements quelconques A et B :

2.3 Cas d'équiprobabilité

P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}

Lorsque toutes les issues sont équiprobables (même chance d'apparaître) :

C'est le cadre standard des tirages au hasard « bien mélangés » au TAGE MAGE.

2.4 Probabilité conditionnelle

P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

Indépendance

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

La probabilité conditionnelle de A sachant B (avec $P(B) \neq 0$ ) :

Deux événements A et B sont indépendants si :

2.5 Formule des probabilités totales

P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \cdots + P(A_k)P(B|A_k)

Soient $A_1, A_2, \ldots, A_k$ des événements incompatibles dont la réunion couvre tout l'univers (partition). Pour tout événement B :

En pratique, on « découpe » B selon les différents cas possibles puis on additionne.

Exemples types corrigés

Lis ces exemples comme des « patrons » à recopier le jour J. Reconnais la structure, puis adapte.

EnsemblesExemple 1 - Effectifs et formule de l'union

Dans une classe de 15 élèves, 10 pratiquent le football, 7 le tennis et 6 pratiquent les deux sports. Combien d'élèves ne pratiquent aucun de ces deux sports ?

01
Étape
On note F : « football », T : « tennis »
02
Étape
$|F \cup T| = |F| + |T| - |F \cap T| = 10 + 7 - 6 = 11$
03
Étape
Élèves ne pratiquant aucun sport : $15 - 11 = 4$

Réponse

Solution : 4

Astuce : Dès que tu vois « au moins l'un des deux », pense formule de l'union.

FactorielleExemple 2 - Anagrammes d'un mot

Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot POSER ?

01
Étape
Le mot POSER contient 5 lettres toutes différentes
02
Étape
Chaque anagramme est une permutation de ces 5 lettres
03
Étape
Nombre d'anagrammes : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Réponse

Solution : 120

Astuce : Mot avec lettres toutes différentes → factorielle du nombre de lettres.

CombinaisonsExemple 3 - Probabilité sans remise

Une urne contient 9 boules numérotées de 1 à 9. On tire simultanément 2 boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux numéros de même parité ?

01
Étape
Tirages simultanés → combinaisons : $C(9,2) = 36$ possibilités
02
Étape
Impairs (1,3,5,7,9) → $C(5,2) = 10$ couples
03
Étape
Pairs (2,4,6,8) → $C(4,2) = 6$ couples
04
Étape
Cas favorables : $10 + 6 = 16$
05
Étape
$P = \dfrac{16}{36} = \dfrac{4}{9}$

Réponse

Solution :

\dfrac{4}{9}

Astuce : Simultané → combinaison. Successif → liste ordonnée.

Avec remiseExemple 4 - Tirages successifs avec remise

Même urne (9 boules 1-9). On tire une boule, on note le numéro, on la remet, puis on tire la seconde. Quelle est la probabilité d'obtenir deux numéros de même parité ?

01
Étape
$P(\text{pair}) = \dfrac{4}{9},\ P(\text{impair}) = \dfrac{5}{9}$
02
Étape
$P(\text{pair, pair}) = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{16}{81}$
03
Étape
$P(\text{impair, impair}) = \dfrac{5}{9} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{25}{81}$
04
Étape
$P_{\text{totale}} = \dfrac{16}{81} + \dfrac{25}{81} = \dfrac{41}{81}$

Réponse

Solution :

\dfrac{41}{81}

Astuce : Avec remise, multiplie directement les probabilités.

ConditionnelleExemple 5 - Probabilité conditionnelle (vaccin)

100 personnes : 40 % reçoivent un nouveau vaccin (20 % tombent malades), 60 % l'ancien vaccin (30 % tombent malades). Parmi les malades, quelle est la probabilité d'avoir reçu le nouveau vaccin ?

01
Étape
Nouveau vaccin : 40 personnes → $0{,}20 \times 40 = 8$ malades
02
Étape
Ancien vaccin : 60 personnes → $0{,}30 \times 60 = 18$ malades
03
Étape
Total malades : $8 + 18 = 26$
04
Étape
$P(\text{Nouveau} \mid \text{Malade}) = \dfrac{8}{26} = \dfrac{4}{13}$

Réponse

Solution :

\dfrac{4}{13}

Astuce : Fabrique-toi un tableau avec des effectifs concrets (sur 100 ou 1000).

Applications corrigées et commentées

Voici une série d'applications directes, corrigées pas à pas. Prenez chaque exemple comme un modèle : lisez l'énoncé, cherchez la réponse par vous-même, puis comparez avec la correction. C'est en répétant ces gestes simples que vous les rendrez automatiques.

app-1Application 1 - Factorielle : ranger des livresTrès simple

Vous avez 4 romans différents. De combien de façons pouvez-vous les ranger sur une étagère ?

01
Comprendre la situation
Ranger 4 livres différents, c'est choisir un ordre : le premier, le deuxième, le troisième, le quatrième.
02
Compter choix par choix
Pour la 1re place : 4 choix. Pour la 2e : il reste 3 livres, donc 3 choix. Puis 2, puis 1.
03
Multiplier
$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24$ rangements possibles.

Réponse

Solution :

24

rangements.

Retenez bien : ranger n objets différents dans un ordre, c'est toujours n!.

app-2Application 2 - Liste avec répétition : un code à 3 chiffresTrès simple

Un cadenas possède 3 molettes, chacune affichant un chiffre de 0 à 9. Combien de codes différents existe-t-il ?

01
Poser les deux questions
L'ordre compte-t-il ? Oui : 123 et 321 sont deux codes différents. Peut-on répéter ? Oui : 111 est un code valide.
02
Identifier le modèle
Ordre + répétition → liste : $n^p$ avec $n = 10$ chiffres et $p = 3$ positions.
03
Calculer
$10^3 = 1\,000$ codes.

Réponse

Solution :

1\,000

codes.

Dès qu'on peut répéter et que l'ordre compte, c'est n^p. Vérifiez toujours ces deux questions avant de choisir votre formule.

app-3Application 3 - Arrangement : un podiumSimple

8 coureurs participent à une course. Combien de podiums différents (or, argent, bronze) sont possibles ?

01
Poser les deux questions
L'ordre compte-t-il ? Oui : être 1er ou 3e n'est pas pareil. Peut-on répéter ? Non : un coureur ne peut pas être à la fois 1er et 2e.
02
Identifier le modèle
Ordre + sans répétition → arrangement : $A(8,3)$ .
03
Calculer sans formule compliquée
$A(8,3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$ . Trois facteurs seulement, car trois places à pourvoir.

Réponse

Solution :

336

podiums possibles.

Astuce de calcul : A(n,p) est un produit de p facteurs qui démarrent à n. Inutile d'écrire les factorielles en entier.

app-4Application 4 - Combinaison : choisir une équipeSimple

Dans une classe de 12 élèves, on doit choisir 3 délégués, sans distinction de rôle. Combien d'équipes différentes peut-on former ?

01
Poser les deux questions
L'ordre compte-t-il ? Non : les trois délégués ont le même rôle. Peut-on répéter ? Non : un élève ne peut pas être choisi deux fois.
02
Identifier le modèle
Pas d'ordre + sans répétition → combinaison : $C(12,3)$ .
03
Calculer
$C(12,3) = \dfrac{12!}{3! \times 9!} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1\,320}{6} = 220$ .

Réponse

Solution :

220

équipes.

Remarquez le réflexe de calcul : au numérateur, p facteurs à partir de n ; au dénominateur, p!. Cela évite de calculer les grandes factorielles.

app-5Application 5 - Arrangement ou combinaison ? Le test en 5 secondesSimple

On distribue 3 prix différents (un roman, un dictionnaire, une calculatrice) à 3 élèves parmi 10. Puis, dans une seconde école, on remet 3 lots identiques à 3 élèves parmi 10. Comparez les deux situations.

01
Première école : prix différents
Attribuer le roman à Léa et le dictionnaire à Tom, ou l'inverse, ce n'est pas la même chose : l'ordre compte → $A(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .
02
Seconde école : lots identiques
Peu importe qui reçoit quoi, seul compte le groupe des 3 gagnants : l'ordre ne compte pas → $C(10,3) = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
03
Comparer
$720 = 120 \times 6$ : les prix différents multiplient les possibilités par $3! = 6$ , le nombre de façons d'attribuer 3 prix à 3 personnes.

Réponse

720 distributions avec prix différents, contre 120 groupes avec lots identiques.

C'est LA question charnière du dénombrement : « si j'échange deux éléments, est-ce que ça change quelque chose ? » Oui → arrangement. Non → combinaison.

app-6Application 6 - Équiprobabilité : un lancer de déTrès simple

Vous lancez un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

01
Compter les cas possibles
6 issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6, toutes également probables.
02
Compter les cas favorables
Les nombres pairs : 2, 4, 6, soit 3 cas.
03
Appliquer la formule
$P = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Réponse

Solution :

\dfrac{1}{2}

.

Tant que les issues sont équiprobables, une probabilité n'est qu'un rapport de comptage. Le vrai travail, c'est de bien compter.

app-7Application 7 - Événement contraire : « au moins une fille »Intermédiaire

Une famille a 3 enfants. On suppose qu'à chaque naissance, fille et garçon sont équiprobables. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins une fille ?

01
Repérer le mot-clé
« Au moins une » : c'est le signal de l'événement contraire. Compter directement 1 fille, 2 filles, 3 filles serait long.
02
Passer au contraire
Le contraire de « au moins une fille » est « aucune fille », c'est-à-dire 3 garçons : $P(\text{3 garçons}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$ .
03
Conclure
$P(\text{au moins une fille}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

Réponse

Solution :

\dfrac{7}{8}

.

Gravez ce réflexe : « au moins un » → calculez « aucun », puis faites 1 moins le résultat.

app-8Application 8 - Tirage sans remise : deux boules rougesIntermédiaire

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes. Vous tirez 2 boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 boules rouges ?

01
Premier tirage
$P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{10}$ .
02
Deuxième tirage : mettre à jour l'urne
Une rouge est sortie : il reste 3 rouges sur 9 boules. $P(\text{rouge au 2e} \mid \text{rouge au 1er}) = \dfrac{3}{9}$ .
03
Multiplier le long du chemin
$P = \dfrac{4}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$

Réponse

Solution :

\dfrac{2}{15}

.

Sans remise, l'urne change à chaque tirage : recalculez toujours les effectifs avant le tirage suivant. C'est l'erreur n° 1 au TAGE MAGE.

app-9Application 9 - Formule de l'union : les abonnementsIntermédiaire

Dans un groupe de 50 personnes, 30 lisent le journal A, 25 lisent le journal B et 10 lisent les deux. Combien de personnes ne lisent aucun des deux journaux ?

01
Appliquer la formule de l'union
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 30 + 25 - 10 = 45$
02
Pourquoi soustraire 10 ?
Les 10 lecteurs des deux journaux sont comptés deux fois, une fois dans A et une fois dans B. On retire un exemplaire de ce double comptage.
03
Conclure
$50 - 45 = 5$ personnes ne lisent aucun journal.

Réponse

Solution :

5

personnes.

Dans une union, on additionne puis on retire l'intersection une seule fois. Si vous l'oubliez, vous comptez des personnes en double.

app-10Application 10 - Probabilité conditionnelle : le test médicalAvancé

Une maladie touche 1 % d'une population. Un test détecte 99 % des malades et se trompe dans 5 % des cas chez les non-malades (faux positifs). Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu'elle soit vraiment malade ?

01
Prendre des effectifs concrets
Imaginez 10 000 personnes. C'est le conseil le plus utile de toute cette fiche : remplacez les pourcentages par des effectifs.
02
Répartir la population
Malades : $1\ \% \times 10\,000 = 100$ . Non-malades : $9\,900$ .
03
Compter les positifs
Vrais positifs : $99\ \% \times 100 = 99$ . Faux positifs : $5\ \% \times 9\,900 = 495$ . Total positifs : $99 + 495 = 594$ .
04
Conclure
$P(\text{malade} \mid \text{positif}) = \dfrac{99}{594} \approx 16{,}7\ \%$

Réponse

Solution : environ

16{,}7\ \%

seulement.

Résultat contre-intuitif mais classique : un test « fiable à 99 % » ne garantit pas du tout que vous êtes malade si la maladie est rare. Avec un tableau d'effectifs, tout devient limpide.

Diagrammes de Venn : voir les ensembles pour mieux compter

Un diagramme de Venn représente les ensembles par des cercles à l'intérieur d'un rectangle (l'univers $\Omega$ ). C'est l'outil le plus sûr pour les questions de type « groupe, langues, abonnements » : au lieu de jongler avec des formules, vous placez les effectifs dans les zones et vous lisez la réponse.

Deux ensembles : la zone centrale A∩B est comptée dans A et dans B.

Trois ensembles : commencez toujours par remplir le centre A∩B∩C, puis remontez vers l'extérieur.

venn-2Application - Deux ensembles : les languesSimple

Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient l'anglais, 15 étudient l'espagnol et 6 étudient les deux langues. Combien d'élèves n'étudient ni l'anglais ni l'espagnol ?

01
Dessiner et placer le centre
Deux cercles A (anglais) et E (espagnol). On commence par l'intersection : 6 élèves dans A∩E.
02
Remplir les zones restantes
Anglais seul : $18 - 6 = 12$ . Espagnol seul : $15 - 6 = 9$ .
03
Additionner les zones
$12 + 6 + 9 = 27$ élèves étudient au moins une langue.
04
Conclure avec l'univers
$30 - 27 = 3$ élèves n'étudient aucune des deux langues.

Réponse

Solution :

3

élèves.

Vérifiez le réflexe : 18 + 15 - 6 = 27, c'est exactement la formule de l'union. Le diagramme et la formule disent la même chose.

venn-3Application - Trois ensembles : les matinées sportivesIntermédiaire

Dans un groupe de 40 étudiants, 20 courent, 15 nagent, 12 font du vélo. 8 courent et nagent, 5 courent et font du vélo, 4 nagent et font du vélo, et 2 pratiquent les trois sports. Combien d'étudiants ne pratiquent aucun de ces trois sports ?

01
Placer le centre
Les trois sports à la fois : $A \cap B \cap C = 2$ .
02
Remplir les intersections deux à deux
Course et natation seulement : $8 - 2 = 6$ . Course et vélo seulement : $5 - 2 = 3$ . Natation et vélo seulement : $4 - 2 = 2$ .
03
Remplir les zones extérieures
Course seule : $20 - 6 - 3 - 2 = 9$ . Natation seule : $15 - 6 - 2 - 2 = 5$ . Vélo seul : $12 - 3 - 2 - 2 = 5$ .
04
Additionner toutes les zones
$9 + 5 + 5 + 6 + 3 + 2 + 2 = 32$ étudiants pratiquent au moins un sport.
05
Conclure
$40 - 32 = 8$ étudiants ne pratiquent aucun sport.

Réponse

Solution :

8

étudiants.

Avec trois ensembles, ne tentez jamais le calcul de tête : dessinez, partez du centre, remontez vers l'extérieur, puis vérifiez que la somme des zones est cohérente.

Hypothèses, cas limites et choix de la bonne formule

Le choix entre liste ( $n^p$ ), arrangement ( $A(n,p)$ ) et combinaison ( $C(n,p)$ ) dépend de deux questions à te poser systématiquement.

L'ordre compte-t-il ?

Si échanger deux éléments choisis donne un résultat différent (ex : président / vice-président), l'ordre compte : liste ou arrangement.

Peut-on répéter un même élément ?

S'il y a remise (un même élément peut être choisi plusieurs fois), on utilise une liste n^p. Sans remise, on utilise un arrangement A(n,p) ou une combinaison C(n,p).

Tableau de décision
Ordre compte ?	Répétition possible ?	Formule
Oui	Oui	$n^p$ (listes)
Oui	Non	$A(n,p) = \dfrac{n!}{(n-p)!}$
Non	Non	$C(n,p) = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

Probabilités : incompatibilité, indépendance et événement contraire

Trois notions sont systématiquement confondues au TAGE MAGE. Voici comment les distinguer sans ambiguïté.

Événements incompatibles

A et B ne peuvent jamais se produire en même temps (

A \cap B = \emptyset

). Alors

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

, sans terme à soustraire.

Événements indépendants

La réalisation de A ne change rien à la probabilité de B. Alors

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

. Attention : indépendant n'est pas synonyme d'incompatible, c'est même souvent le contraire.

Événement conditionnel

P(A|B)

mesure la probabilité de A sachant que B est déjà réalisé. Elle recalcule l'univers en le restreignant à B.

Événement contraire

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

. Très utile dès que l'énoncé contient « au moins un(e) ».

Exercices gradués supplémentaires

Contraire1Exercice 6 - Probabilité de « au moins un » (événement contraire)Intermédiaire

On lance 3 fois un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?

01
Passer au contraire
L'événement contraire de « au moins un 6 » est « aucun 6 sur les 3 lancers ».
02
Calculer la probabilité contraire
$P(\text{pas de 6 à un lancer}) = \dfrac{5}{6}$ . Les lancers sont indépendants, donc $P(\text{aucun 6}) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = \dfrac{125}{216}$ .
03
Revenir à l'événement demandé
$P(\text{au moins un 6}) = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216}$

Réponse

\dfrac{91}{216}

, soit environ 42 %.

Réflexe : dès que tu vois « au moins un », pense événement contraire « aucun ».

Indep1Exercice 7 - Indépendance vs incompatibilitéIntermédiaire

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. A : « la carte est un cœur ». B : « la carte est un roi ». A et B sont-ils indépendants ?

01
Calculer P(A) et P(B)
$P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ (8 cœurs). $P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$ (4 rois).
02
Calculer P(A ∩ B)
Il n'y a qu'un seul roi de cœur : $P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}$ .
03
Comparer
$P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{32} = P(A \cap B)$ : l'égalité est vérifiée.

Réponse

A et B sont indépendants, car

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

.

A et B ne sont pas incompatibles (le roi de cœur existe), mais ils sont bien indépendants : ce sont deux notions distinctes.

Combi1Exercice 8 - Combinaison avec condition (comité mixte)Avancé

Un groupe est composé de 6 hommes et 4 femmes. On forme un comité de 3 personnes. Combien de comités possibles contiennent exactement 2 femmes et 1 homme ?

01
Choisir les femmes
Choisir 2 femmes parmi 4 : $C(4,2) = 6$ .
02
Choisir l'homme
Choisir 1 homme parmi 6 : $C(6,1) = 6$ .
03
Combiner les choix
Chaque choix de femmes se combine avec chaque choix d'homme : $6 \times 6 = 36$ .

Réponse

36 comités possibles.

Réflexe : dès qu'un tirage combine plusieurs catégories, multiplie les combinaisons obtenues séparément pour chaque catégorie.

Cond2Exercice 9 - Probabilité conditionnelle avec un arbre (tirage sans remise)Avancé

Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire deux boules sans remise. Sachant que la première boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la seconde soit également blanche ?

01
Identifier la conditionnelle demandée
On cherche $P(\text{2e blanche} \mid \text{1re blanche})$ .
02
Mettre à jour l'urne
Après avoir tiré une boule blanche, il reste 3 blanches et 6 noires, soit 9 boules.
03
Calculer
$P(\text{2e blanche} \mid \text{1re blanche}) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

Réponse

\dfrac{1}{3}

Sans remise, chaque tirage modifie la composition de l'urne : recalcule toujours les effectifs avant de conclure.

Raccourcis et checklist de réflexes

0 / 7

Je me demande si l'ordre compte pour choisir entre liste/arrangement et combinaison.Je me demande s'il y a remise (répétition possible) ou non.Face à « au moins un », je calcule d'abord la probabilité de l'événement contraire.Je ne confonds pas incompatible (A ∩ B = ∅) et indépendant (P(A∩B) = P(A)P(B)).Pour un tirage sans remise, je recalcule les effectifs restants à chaque étape (arbre ou raisonnement séquentiel).Pour une union de deux événements non incompatibles, je soustrais toujours P(A ∩ B) une seule fois.Je vérifie que ma probabilité finale est bien comprise entre 0 et 1.

Questions de révision style TAGE MAGE

Question type

Événement contraireIntermédiaire

On tire 2 cartes sans remise dans un jeu de 32 cartes, dont 4 as. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un as ?