Fractions, décimaux et pourcentages | Cours + QCM TAGE MAGE

Objectifs de cette fiche

Interpréter une fraction comme quotient et partage
Simplifier des fractions simples
Passer de fraction à décimal (et inversement)
Relier fractions, décimaux et pourcentages

Notions clés

Interprétations des fractions

Quotient : $\frac{3}{4}$ signifie « 3 divisé par 4 »

Partage : $\frac{3}{4}$ d'un gâteau = 3 parts sur 4

Lien avec les pourcentages :

p\,\% = \frac{p}{100}

01
Une fraction a / b (avec b ≠ 0) représente le quotient de a par b.
02
Une fraction peut représenter un partage : a / b, c'est « a parts quand le tout est découpé en b parts égales ».
03
Une fraction est égale à un nombre décimal lorsque sa valeur peut s'écrire avec un nombre fini de décimales.
04
Les pourcentages sont des fractions particulières de dénominateur 100 : 25 % = 25 / 100.

Équivalences à connaître par cœur

Fraction	Décimal	Pourcentage
$\frac{1}{2}$	$0{,}5$	$50\,\%$
$\frac{1}{4}$	$0{,}25$	$25\,\%$
$\frac{3}{4}$	$0{,}75$	$75\,\%$
$\frac{1}{5}$	$0{,}2$	$20\,\%$
$\frac{2}{5}$	$0{,}4$	$40\,\%$
$\frac{1}{8}$	$0{,}125$	$12{,}5\,\%$
$\frac{1}{10}$	$0{,}1$	$10\,\%$
$\frac{1}{3}$	$0{,}333...$	$33{,}3...\,\%$

Méthodes de conversion

Fraction → Décimal

Effectue la division du numérateur par le dénominateur.

3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75

Décimal → Fraction

Utilise la valeur de position des chiffres décimaux, puis simplifie.

0,25 = 25/100 = 1/4

Pourcentage → Fraction

Écris p % = p/100, puis simplifie si possible.

40 % = 40/100 = 2/5

Applications corrigées

Exemple 1Comparer deux réductions

Achat d'un pull avec deux types de remise. Un pull coûte 80 €. Magasin A : remise directe de 20 €. Magasin B : remise de 25 %. Dans quel magasin la remise est-elle la plus importante ?

01
On exprime 25 % sous forme de fraction simplifiée
$25\,\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
02
Magasin A : remise de 20 €, prix payé
$80 - 20 = 60\,€$
03
Magasin B : remise de 25 % = 1/4 de 80 €
$\frac{1}{4} \times 80 = 20\,€ \Rightarrow 80 - 20 = 60\,€$

Réponse

Les deux remises sont identiques : réduction de 20 €, prix final 60 €.

Exemple 2Part d'un budget mensuel

Répartition du budget d'un étudiant. Un étudiant dispose de 600 € par mois. Il consacre 3/10 au logement, 1/4 à la nourriture et 15 % aux transports. Calculer chaque somme et le reste.

01
Logement : 3/10 de 600 €
$\frac{3}{10} \times 600 = 180\,€$
02
Nourriture : 1/4 de 600 €
$\frac{1}{4} \times 600 = 150\,€$
03
Transports : 15 % de 600 € = 0,15 × 600
$0{,}15 \times 600 = 90\,€$
04
Total et reste
$180 + 150 + 90 = 420\,€ \Rightarrow 600 - 420 = 180\,€$

Réponse

Il reste 180 € pour les autres dépenses.

Exercices d'entraînement

EXO1Écrire sous forme de fraction simplifiée puis de nombre décimal

Écrire sous forme de fraction simplifiée puis de nombre décimal : a) 25 % ; b) 40 % ; c) 12,5 %.

01
a)
25 % = 25/100 = 1/4 = 0,25
02
b)
40 % = 40/100 = 2/5 = 0,4
03
c)
12,5 % = 12,5/100 = 125/1000 = 1/8 = 0,125

Réponse

a) 0,25 ; b) 0,4 ; c) 0,125

EXO2Surface colorée d'un rectangle

Un rectangle a une surface de 80 cm². Une partie colorée représente 3/5 de la surface. Calculer la surface colorée et le pourcentage correspondant.

01
Surface colorée
3/5 × 80 = 48 cm²
02
Pourcentage
48/80 = 3/5 = 0,6 = 60 %

Réponse

Surface colorée : 48 cm², soit 60 % de la surface totale.

EXO3Convertir en nombre décimal, puis en pourcentage

Convertir en nombre décimal, puis en pourcentage : a) 3/20 ; b) 7/25.

01
a)
3/20 = 15/100 = 0,15 = 15 %
02
b)
7/25 = 28/100 = 0,28 = 28 %

Réponse

a) 15 % ; b) 28 %

Hypothèses, unités et cas limites

Une fraction a/b n'a de sens que sous une hypothèse essentielle : le dénominateur b doit être différent de zéro. Diviser par zéro n'est jamais autorisé, quelle que soit la valeur du numérateur.

Une fraction est sans unité : elle exprime un rapport entre deux quantités de même nature (deux longueurs, deux effectifs, un nombre de parts et un total). Dès que numérateur et dénominateur n'ont pas la même unité, ce n'est plus une fraction « pure » mais une grandeur composée (par exemple une vitesse, en km/h).

Comparer deux fractions en comparant seulement leurs numérateurs

5/6 et 7/9 : 7 > 5 ne veut pas dire que 7/9 > 5/6.

Mets les fractions au même dénominateur (ou fais un produit en croix) avant de comparer.

Simplifier en soustrayant le même nombre au numérateur et au dénominateur

(3+2)/(4+2) n'est pas égal à 3/4 : on ne peut pas « simplifier » une somme comme un produit.

On ne simplifie une fraction qu'en divisant numérateur ET dénominateur par un même facteur commun.

Diviser par une fraction comme si on la multipliait

3/4 ÷ 2/5 n'est pas égal à 3/4 × 2/5.

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2.

Raccourcis de calcul mental et réflexes

Passer par 1/4, 1/2, 1/5, 1/8, 1/10

Ces fractions usuelles se calculent en une division simple : diviser par 4, par 2, par 5, par 8 ou par 10.

Produit en croix pour comparer

Pour comparer a/b et c/d (b, d strictement positifs), compare a×d et b×c sans poser de division.

Fraction d'une fraction = produit direct

1/3 de 3/4 d'un tout = (1/3) × (3/4) = 3/12 = 1/4. Pas besoin de calculer une étape intermédiaire en euros ou en unités.

Repérer un dénominateur commun évident

Avant de multiplier les dénominateurs entre eux, cherche si l'un est un multiple de l'autre (ex : 4 et 8 → dénominateur commun 8, pas 32).

0 / 4

Le dénominateur peut-il s'annuler dans cet exercice ?Ma fraction finale est-elle bien simplifiée (PGCD retiré) ?Ai-je mis les fractions au même dénominateur avant de les comparer ou de les additionner ?Est-ce que je divise par une fraction sans oublier de l'inverser ?

Exercices supplémentaires gradués

EXO4Comparer deux fractions par produit en croix

Comparer 5/8 et 7/11 sans calculatrice.

01
Produit en croix
$5 \times 11 = 55 \quad\text{et}\quad 7 \times 8 = 56$
02
Interprétation
56 est supérieur à 55, donc 7/11 est (très légèrement) supérieure à 5/8.

Réponse

7/11 > 5/8 (écart très faible : 0,6364 contre 0,625).

Le produit en croix évite tout calcul décimal : compare a×d à b×c.

EXO5Additionner des fractions de dénominateurs différents

Deux équipes contribuent à un même projet : l'équipe A apporte 3/4 du budget nécessaire, l'équipe B apporte 2/5 de ce même budget (les deux contributions se chevauchent, il ne s'agit pas d'un partage exclusif). Que vaut la somme brute de ces deux fractions ?

01
Dénominateur commun
$\frac{3}{4} = \frac{15}{20} \quad\text{et}\quad \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$
02
Somme
$\frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20} = 1{,}15$

Réponse

La somme brute vaut 23/20, soit 1,15 (supérieure à 1, ce qui confirme que les deux contributions se chevauchent).

Une somme de fractions peut dépasser 1 : c'est normal si les fractions ne représentent pas des parts exclusives d'un même tout.

EXO6Fraction d'un reste (deux étapes)

Un stock contient 240 articles. On en vend 5/8, puis, parmi les articles restants, on en offre 1/3. Combien d'articles restent en stock à la fin ?

01
Articles vendus
$\frac{5}{8} \times 240 = 150$
02
Reste après la vente
$240 - 150 = 90$
03
Articles offerts (1/3 du reste)
$\frac{1}{3} \times 90 = 30$
04
Stock final
$90 - 30 = 60$

Réponse

Il reste 60 articles en stock.

Piège classique : le 1/3 s'applique au reste (90), pas au stock initial (240).

QCM de révision

Question type

FractionsNiveau 1Temps cible · 45 s

Un club sportif compte 240 adhérents. Les 5/8 sont des hommes. Parmi les femmes, 1/3 pratiquent la natation. Combien de femmes pratiquent la natation ?